Pixylophone: Mozkomor

Mudrci, diktátor a šachovnice podruhé

Když už si mudrcové poradili s pěšci a šachovnicí, vymyslel pro ně diktátor další zběsilou zábavu. Večer jim vysvětlí, co je čeká, a nechá jim celou noc na domluvu. Ráno oběma zaváže oči i ústa (tedy nadále nic nevidí, ani se už nemohou domlouvat) a posadí je ke kulatému stolku. Na něj následně rozloží 9 políček původní šachovnice do 3 řad po 3 čtvercích, zcela náhodně bílou nebo černou barvou nahoru. A mudrcové přežijí další den, pokud se jim do večera podaří otočit všech 9 polí tak, aby na všech byla nahoře bílá barva.

Pravidla jsou jednoduchá:

1. První mudrc otočí libovolný počet polí, tedy u libovolného počtu políček překlopí barvu z černé na bílou, nebo opačně. Políčka nesmí přemísťovat, pouze otáčet (nesmí tedy např. uspořádat všech 9 do řady, rozložení 3x3 musí být zachováno).
2. Diktátor posoudí stav na stole. Pokud je všech devět polí bílých, hru ukončí. V opačném případě pootočí celým stolkem libovolně o 90, 180 nebo 270 stupňů — anebo taky stolek neotočí vůbec. A samozřejmě neřekne, zda a jak stolkem otočil.
3. Hraje druhý mudrc, postup se opakuje.

Mudrcové nyní mají před sebou bezesnou noc a několik hodin na přípravu, než ráno zasednou k onomu osudovému kulatému stolku. Jakou jim poradíte strategii?

(Úlohu zaslal David Brebera a já za to opět velice děkuji.)

Mudrci a šachovnice

Náš oblíbený šílený diktátor, který před časem potrápil zástup lidí s klobouky, tentokrát zajal dva mudrce.

A vymyslel si další hříčku: připraví šachovnici poskládanou z 8×8 čtverečků, z jedné strany černých a z druhé bílých. Každý čtvereček je otočený náhodně, tedy máme celkem 64 polí, každé náhodně buď černé, nebo bílé.

Ráno je vyveden jeden z mudrců, vylosuje si z krabice černou nebo bílou figurku a na šachovnici musí změnit právě jedno políčko z černého na bílé nebo naopak. Pak bude odveden z místnosti a figurky schovány. Poté bude přiveden druhý mudrc (ke stejnému místu šachovnice, pole A1 je pro oba mudrce shodné), smí se pouze dívat na šachovnici a musí poznat barvu figurky, kterou si vylosoval první mudrc.

Otázka zní, co mudrcové vymyslí, aby se s jistotou zachránili. Pokud druhý mudrc řekne špatnou barvu, budou oba sťati, to je snad jasné. Jsou ale ve společné cele a mohou se celou noc radit.

Jednoduché, což? Nyní však diktátor škodolibě prohlásí, že neřekl, co se stane, když druhý mudrc řekne barvu správně. Samozřejmě následuje pokračování:

V krabici je dostatek (řekněme 64) bílých a stejně tolik černých pěšců. Budou vylosováni dva v určitém pořadí. První mudrc změní opět právě jeden čtvereček a druhý poté musí poznat barvy pěšců ve správném pořadí. Jak tohle udělají?

A konečně poslední otázka: kolik nejvíce smí být pěšců, aby si mudrcové změnou barvy právě jednoho čtverečku dokázali spolehlivě předat pořadí jejich barev?

Za poslání téhle pěkné úlohy vřele děkuji Janu Hlaváčkovi.

Třeskuté hádanky na dnešní noc

A hned několik najednou, povětšinou notoricky známých:

1. Jak dostanete do lednice slona ve 3 krocích?
2. Jak dostanete do lednice zebru ve 4 krocích?
3. Král džungle, lev, se žení. Na oslavu se dostaví všechna zvířata, vyjma jednoho. Kterého a proč nepřišlo?
4. Muž se potřebuje dostat na druhou stranu divoké řeky v džungli. Řeka je známá množstvím aligátorů, kteří v ní žijí. Jak se muž dostane na druhou stranu?

Řešení najdete hned v prvním komentáři (via Braingle.com).

Update: Komentáře tentokrát vřele doporučuji, jsou výrazně lepší než samotný příspěvek.

Velbloudí závod (a zašifrovaný obrázek jako prémie)

Bohatý šejk řekl svým dvěma synům, že jeho dědicem bude ten, kdo vyhraje závod na velbloudech do Mediny. Závod ovšem trochu netradiční: vítězem bude ten z mladíků, jehož velbloud bude v cíli poslední jako druhý. Synové tedy zvolna nasedli na své velbloudy a několik dní se ploužili pouští: žádný pochopitelně nechtěl být v cíli první. V první oáze potkali moudrého starce a požádali jej o radu. Mudrc se zamyslel a pak jim svou radu řekl. Oba synové okamžitě naskočili na velboudy a vyrazili tryskem ku Medině.

Co jim stařec poradil?

Pozn.: Než se podíváte do komentářů, ujistěte se, že skutečně chcete rovnou vidět řešení, které se tam určitě povaluje přímo na ráně.

Náhradní program

A pokud vám hádanka přišla příliš jednoduchá (a pokud váš prohlížeč umí aspoň trochu Javu), střihněte si třeba ještě jeden zakódovaný obrázek. Pro ty, co nevědí, oč jde: čísla v řádcích a sloupcích (pořadě) udávají, kolik políček za sebou je vybarveno. Je-li tedy např. u řádku uvedeno 2 10 5, znamená to, že jsou (zleva doprava) někde vybarvena dvě políčka, pak je jich několik (aspoň jedno) prázdných, pak je vybarven souvislý blok 10 políček, pak zase mezera a nakonec 5 políček. A dohromady to celé dává nějaký obrázek.

Provazový čtverec

Jedna méně tradiční hádanka. Nebo možná spíš strategický úkol, kdo ví.

Ja vás pět osob, stojíte uprostřed rozlehlé louky a jediné, co máte k dispozici (kromě dostatku prostoru), je smyčka velmi dlouhého provazu (tj. má konce spojené k sobě) — řekněme, že má aspoň 100 metrů. A vy máte za úkol ten provaz napnout do co nejpřesnějšího čtverce. A malý bonus, pokud vám to nestačí: všichni jste slepí nebo máte zavázané oči.

Klobouky

Pro ty, co by snad měli přes dnešní záplavu mozkomorů málo, ještě jeden cloumák na závěr.

V jednom zámku v karpatských horách zavřel jakýsi sadistický, leč prudce inteligentní šílenec skupinu turistů do podzemní kobky a hodinách mučenlivého čekání jim oznámil, že je ráno hodlá všechny zabít. Ale dostanou šanci na záchranu.

Za úsvitu se všichni seřadí na dlouhém schodišti do podzemí — tak, že všichni budou stát čelem dolů a uvidí jen ty pod sebou. Každý dostane na hlavu buď bílý, nebo černý klobouk. Klidně mohou mít všichni bílé, všichni černé anebo to bude libovolná kombinace. Nikdo nebude znát barvu svého vlastního klobouku, ani lidí stojících za ním — uvidí pouze klobouky před sebou. A padouch se začne od posledního v řadě (toho, co stojí nejvýš a vidí všechny ostatní pod sebou) postupně ptát: "Jaký klobouk máš na hlavě?". Pod trestem smrti se nikdo nesmí ohlédnout, nesmí se ani pohnout, ba ani pípnout — každý smí pouze říct "bílý", nebo "černý", když bude dotázán na barvu svého klobouku. Pokud odpoví správně, může odejít — pokud špatně, bude okamžitě zastřelen. A šílenec potom položí stejnou otázku dalšímu v řadě (tedy předposlednímu) — a stále dále, až skončí u posledního, stojícího dole na posledním schodě.

Turisté mají celou noc na přemýšlení a domluvu. Vymyslete pro ně optimální strategii na maximální šanci k přežití.

Příjemnou noc.

P. S.: A pozor — než se kouknete do komentářů, buďte připraveni na to, že obsahují ne-li kompletní řešení, tak určitě nebezpečné návody, které vám pokazí všechnu zábavu. Než tam vstoupíte, zkuste nejdřív přemýšlet nad vlastním řešením.

Logická hádanka ze života promiskuitních heterosexuálů

Pro vyrovnání karmy jedna trošku lehčí (v obou významech toho slova).

Jak zařídit, aby mohl mít jeden muž bezpečný styk (s kondomem) se třemi různými ženami, pokud má k dispozici jen dva kondomy? A ještě lépe — jak mohou mít tři muži bezpečný styk s jednou ženou, když mají také jen dva kondomy? A pozor — bezpečným sexem se rozumí sex bezpečný pro obě strany — nesmí tedy nakazit ani žena muže, ani muž ženu!

Jeden těžší logický kalibr

Chtěli jste to, máte to mít. Tahle hádanka má slavného autora, ale to není podstatné. Malinko jsem ji (z výchovných důvodů) změnil — ale na podstatě jsem nic neubral. Údajně ji 98 % populace nedokáže vůbec vyřešit a jen opravdoví hrdinové to zvládnou z hlavy. Beze špetky skromnosti zde podotýkám, že mně se to podařilo. Tak do toho...

V jedné ulici stojí pět domů, každý jiné barvy. V každém domě žije gentleman jiné národnosti, každý chová nějaké zvíře (každý jiné, dokonce je tu i jeden akvarista!). Každý z pánů se za dlouhých večerů baví jinou společenskou hrou a každý dává přednost jinému nápoji. Přesněji řečeno je to vlastně takto:

Angličan žije v červeném domě a Nor zase v tom prvním. Švéd chová psa, kdežto Dán pije čaj. Hned vlevo vedle bílého stojí zelený dům, ale v tom žlutém rádi hrají dámu. Pán z prostředního domu pije výhradně mléko, pivo pije jen hráč bridže. Soused šachisty má kočku, zatímco hráč scrabble chová papouška. Vedle hráče dámy žije chovatel koní, ale Nor bydlí vedle modrého domu. V zeleném domě pijí kávu, ale soused šachisty dává přednost čisté vodě. Němec hraje poker.

Kdo chová rybičky?

Cestou z A do B

Pro někoho asi triviální, pro jiného možná zapeklité. Z A vyjíždí každou celou hodinu žlutý autobus do B, kam dorazí za tři a čtvrt hodiny. Vy vyrážíte v 8.30 z B do A a v protisměru tyto žluté autobusy potkáváte. Kolik jich potkáte, než za dvě a čtvrt hodiny dorazíte do A?

Božské číslo

Dlouho tu nebylo nic na lámání hlavy, tedy vzhůru na to.

Jaké devítimístné palindromické číslo (je stejné odpředu i odzadu) vynásobeno samo sebou dá sedmnáctimístné palindromické číslo?

A prosím ty, co na to přijdou, nebo řešení znali, aby měli v komentářích ohled na ty, co chtějí na řešení přijít sami. Díky.

Šoupání mincemi

Takovéhle úlohy, které vypadají na pohled jednoduše, zadání se dá říct jednou větou, a přitom dají zabrat, mám vůbec nejradši (za tuhle díky Lukáši Hladečkovi).

Máte deset korunových mincí. Vytvořte s nimi pět (navzájem různých) řad po čtyřech mincích v přímce.

Myslím si dvě čísla

Je tu jeden malý (ale drsný) mozkomor na víkend. Jestli náhodou nebudete věřit vlastním očím při pohledu na zadání nebo vám tam bude něco chybět, ujišťuji ctěné publikum, že tam nic nechybí. A není to ani žádný chyták.

Myslím si dvě celá čísla od 2 do 99. Adamovi řeknu jejich součin a Bohoušovi jejich součet.
Adam: "Já nevím, jaká čísla sis myslel".
Bohouš: "Já věděl, že to nebudeš vědět."
Adam: "Tak teď už vím, co to je za čísla."
Bohouš: "Tak já už taky."

Jaká čísla jsem si to myslel?

A nechte Googly Googlama a zapojte vlastní hlavinky. Mně se z ní kouří ještě teď.

Triangulace čtverce

Dostal jsem mailem (díky, Jane) pěknou úložku. Dokážete rozdělit čtverec na samé ostroúhlé trojúhelníky? Jinými slovy poskládat čtverec z několika trojúhelníků, které nemají žádný úhel tupý, ani pravý? Z kolika nejméně? A z kolika nejvíce?

Pokud někdo tuhle úlohu zná, tak prosím, ať si nechá řešení (aspoň chvíli) pro sebe a nekazí ostatním radost. Takže své vlastní úvahy a řešení klidně pište do komentářů, ale odpusťte si prosím obligátní objevy typu "to je starý", nebo přímé odkazy na cizí řešení. A konečně ujišťuji všechny, kteří by stejně jako já na první pohled bystře usoudili, že to nejde, tak že to jde.

Obchodní problém

Zaplatit 17 korun s použitím 3 mincí je snadné: 10 + 5 + 2. Ale věděli byste, jak je možné zaplatit 17 korun, jsou-li k dispozici jen 3 mince, přičemž ani jedna z nich není pětikoruna? Mluvíme jen o skutečných, platných českých mincích.

Žabičková algebra

Dnes večer jsem věšel tchýni... záclony. A zase jsem narazil na starý problém zvaný optimální počet žabek. Jasně, záleží na stylu, jak je kdo zvyklý věšet — ale jsem přesvědčen, že nejsnazší a ideální je metoda půlení intervalů:

1. pověs oba kraje záclony
2. napnutím lemu záclony najdi střed mezi oběma kraji a ten pověs
3. rekurzivně opakuj krok 2 pro každý nový úsek rozdělený středovou žabkou — tak dlouho, dokud je na co věšet

Minimálním sestavou je sekvence 1-1-1, tedy 3 žabky. U menších kusů k pověšení používám nejčastěji 9 žabek, neboli 1-3-1-3-1. Má nejoblíbenější sestava je ale 1-3-1-3-1-3-1-3-1, čili 17 kusů (další vhodný počet je už výrazně vyšší, a proto ne tak často použitelný).

Víte, jaký je vhodný počet žabek obecně? Jaký je vzorec pro N. prvek v oné posloupnosti? Není to až tak úplně triviální úloha (aspoň dokud vás to netrkne). Přijdete na tu "žabkovou funkci"? I s důkazem, nebo aspoň s vysvětlením, proč je to právě tak?

P. S.: Rád bych poprosil jistou skupinu čtenářů (a zejména Michala Kubečka), aby nechali trochu prostoru ostatním, který to třeba nebude připadat tak prosté a očividné jako jim

Dvě geometrické

Potkal jsem dnes v jednom inzerátu docela pěknou geometrickou úlohu. Je ale velmi jednoduchá: vezmete-li pět rovnostranných trojúhelníků a poskládáte z nich pěticípou hvězdu (uspořádáte je do tvaru pětiúhelníku — viz obrázek), jaký bude úhel mezi stranami sousedních trojúhelníků?

A k tomu jsem si vzpomněl na jednu z mnoha zábav, které jsem si čmárával, když jsem se ve škole nudil. Když si na čtverečkovaném papíře nakreslíte dvě kolmice a začnete pravítkem spojovat nejvzdálenější bod jedné z nich s nejbližším bodem na druhé; potom druhý nejvzdálenější s druhým nejbližším atd., vykreslí ty narýsované úsečky pěknou, oblou křivku. Korektněji řečeno: všechny body přímek P(x) určených dvojicí bodů [x,0] a [0,n-x], kde 0<x<n, vyplňují první kvadrant v oblasti omezené jistou křivkou (viz obrázek). Je skoro jasné, že to je (čtvrt)kružnice s poloměrem n — ale proč? Jedna věc je si to myslet — ale dokázat to už může dát docela zabrat.

(kliknutím zobrazíte obrázek v plné velikosti)

A ještě jedna podotázka. Že se touhle "pravítkovou metodou" dá nakreslit i elipsa, je asi celkem jasné (prostě se na každé z os zvolí jiné měřítko). Ale dá se nějak podobně nakreslit i kus paraboly a/nebo hyperboly?

Rychle Rotující Rubik

Bavili jsme se nedávno s kamarádem Jirkou (který mi mimochodem přinesl tu úlohu s přeloženým papírem) a mezi řečí jsme dospěli k tomu, že jsme oba stejně máklí — zajímají nás blbiny, o které soudný člověk snad v životě nezavadí. Tak například jsme se shodli na tom, že nám oběma shodně vrtává v hlavě, co že je to za těleso, které vznikne rotací krychle kolem její tělesové úhlopříčky. Jinými slovy: když si vezmete do ruky kostku (třeba Rubikovu), chytíte ji mezi prsty za protější vrcholy a roztočíte ji, tak jaké těleso ta rotující krychle vyplňuje? A co za křivky to při pohledu z boku vytváří?

Napadají mně jen dvě možnosti — buďto upnout tu kostku do soustruhu, zapnout ho na nejvyšší rychlost a prostě se podívat, anebo vzít k ruce analytickou geometrii a začít počítat. Soustruh nemám, a analytická geometrie už mi tak neslouží...

Nudíte se? Tak si kupte medvídka mývala a zeptejte se ho:

• Co je ten rotační krychloid za těleso?
• Jak vypadá z boku (neboli jaký je řez vedený osou rotace)?
• Jaký je jeho objem?
• A co v případě obecného kvádru?
• Je ten mýval normální?

Něco k přemýšlení na víkend

Zdá se to jako blbinka, ale dá pěkně zabrat. Vezmi čtverec papíru a jeden roh přilož na střed jedné z protějších stran a přehni (viz obrázek). Zbude takový malý trojúhelníček, který přečnívá. Jaký je jeho obsah?